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设n次整系数多项式函数f(x)在多于n个整数处取值1或-1,这里n>=1.证明：多项式f（x）在有理数域上不可约?
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设n次整系数多项式函数f(x)在多于n个整数处取值1或-1,这里n>=1.证明：多项式f（x）在有理数域上不可约?
▼优质解答
答案和解析
先定义floor(x)是向下取整函数,ceil(x)是向上取整函数
若f(x)=u(x)v(x), deg u(x) >= deg v(x) >= 1
那么deg v(x) <= floor(n/2)
注意f(k)=1 <=> |u(k)|=|v(k)|=1,所以v(x)+1=0和v(x)-1=0中至少有一个存在ceil[(n+1)/2]个根
但是m次多项式不能有m+1个根,矛盾
若f(x)=u(x)v(x), deg u(x) >= deg v(x) >= 1
那么deg v(x) <= floor(n/2)
注意f(k)=1 <=> |u(k)|=|v(k)|=1,所以v(x)+1=0和v(x)-1=0中至少有一个存在ceil[(n+1)/2]个根
但是m次多项式不能有m+1个根,矛盾
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