平行六面体中概率问题以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率是多少?

Question

平行六面体中概率问题
以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率是多少?

Answer 1

平行六面体有8个顶点,从中任取三点做三角形有C(8,3)=56个
而从56个三角形中任取两个三角形,有C(56,2)=1540种
我们来考虑两个三角形共面的情况：①平行六面体六个表面,有6×C(4,2)=36种；②平行六面体的对角面（即两对面互相平行的对角线组成的面）也有6个
所以也有6×C(4,2)=36
∴这两个三角形不共面的概率P=1-P^=1-(36+36)/1540=1468/1540=367/385