如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=π3．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．

Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=(π)/(3)．
（Ⅰ）求证：顶点A₁在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；
（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证：连接A₁O，则A₁O⊥底面ABCD．
作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A₁M，A₁N
由三垂线定理得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD∵∠A₁AM=∠A₁AN，
∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA∴A₁M=A₁N∴OM=ON．
∴点O在∠BAD的平分线上
（Ⅱ）∵AM=AA₁cos(π)/(3)＝3•(1)/(2)＝(3)/(2)，
∴AO=AMcsc(π)/(4)＝(3)/(2)√(2)．
又在职Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁²-AO²=9−(9)/(2)＝(9)/(2)，
∴A₁O=(3)/(2)√(2)．
∴平行六面体的体积V=5•4•(3)/(2)√(2)＝30√(2)．