（2010•武昌区模拟）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，动点P在棱A1B1上，（Ⅰ）求证：PD⊥AD1；（Ⅱ）当A1P=12A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值；（Ⅲ）当A1P=34A1B1时，求点C到平面D1DP的

Question

（2010•武昌区模拟）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求证：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）当A₁P=(1)/(2)A₁B₁时，求CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）当A₁P=(3)/(4)A₁B₁时，求点C到平面D₁DP的距离．

Answer 1

解法一：（I）证明：连接A₁D，在正方体AC₁中，
∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，∴A₁D是PD在平面A₁ADD₁内的射影．（2分）
在正方形A₁ADD₁中，A₁D⊥AD₁，PD⊥AD₁．（4分）
（II）取D₁C₁中点M，连接PM，CM，则PM∥A₁D₁．
∵A₁D₁⊥平面D₁DCC₁，∴PM⊥平面D₁DCC₁．
∴CM为CP在平面D₁DCC₁内的射影．
则∠PCM为CP与平面D₁DCC₁所成的角．（7分）
在Rt△PCM中，sinPCM＝(PM)/(PC)＝(4)/(√(42+22+42))＝(4)/(6)＝(2)/(3).
∴CP与平面D₁DCC₁所成的角的正弦值为(2)/(3)．（9分）

（III）在正方体AC₁中，D₁D∥C₁C．
∵C₁C⊄平面D₁DP内，D₁D⊂平面D₁DP，∴C₁C∥平面D₁DP．
∴点C到平面D₁DP的距离与点C₁到平面D₁DP的距离相等．
∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，DD₁⊂面D₁DP，
∴平面D₁DP⊥平面A₁B₁C₁D₁．
又∵平面D₁DP∩平面A₁B₁C₁D₁=D₁P，
过C₁作C₁H⊥D₁P于H，∴C₁H⊥平面D₁DP．
∴C₁H的长为点C₁到平面D₁DP的距离．（12分）
连接C₁P，并在D₁C₁上取点Q，使PQ∥B₁C₁．
在△D₁PC₁中，C₁H•D₁P=PQ•D₁C₁，得C1H＝(16)/(5)．
∴点C到平面D₁DP的距离为(16)/(5)．（14分）
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．
由题设知正方体棱长为4，则D（0，0，0）、A（4，0，0）、B₁（4，4，4）、
A₁（4，0，4）、D₁（0，0，4）、C（0，4，0）．（1分）
（I）设P（4，y₀，4），∴

DP

＝(4，y0，4).

AD1

＝(−4，0，4)（3分）
∵

DP

•

AD1

＝−16+16＝0，
∴PD⊥AD₁．（4分）

（II）由题设可得，P（4，2，4），
故

CP

＝(4，−2，4)．∵AD⊥面D₁DCC₁，
∴

DA

＝(4，0，0)是平面D₁DCC₁的法向量．（7分）
∴cos＜

DA

，

CP

＞＝(DA•CP)/(|DA||CP|)＝(2)/(3)．（8分）
∴CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值为(2)/(3)．（9分）
（III）∵

DC

＝(0，4，0)，设平面D₁DP的法向量n=（x，y，z），
∵P（4，3，4）
∴

DD1

＝(0，0，4)，

DP

＝(4，3，4)．
则

n•

DD1

＝0

n•

DP

＝0

，即

z＝0

4x+3y+4z＝0.

令x=-3，则y=4．
∴n=（-3，4，0）．（12分）
∴点C到平面D₁DP的距离为d＝(|n•DC|)/(|n|)＝(16)/(5)．（14分）