（2014•兴安盟一模）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求证：B1F⊥平面AEF；（Ⅲ）求二

Question

（2014•兴安盟一模）已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（I）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA₁=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）

DE

=（-2，4，0），面ABC的法向量为

OA1

=（0，0，4），
∵

DE

•

OA1

＝0，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II）

B1F

＝(−2，2，−4)，

EF

＝(2，−2，−2)

B1F

•

EF

＝(−2)×2+(−2)+(−4)×(−2)=0

B1F•

AF

＝(−2)×2+2×2+(−4)=0（6分）
∴

B1F

⊥

AF

，∴B₁F⊥AF
∵AF∩FE=F，∴B₁F⊥平面AEF（8分）

（III）平面AEF的法向量为

B1F

＝(−2，2，−4)

，设平面B₁AE的法向量为

n

＝(x，y，z)，
∴

n

•

AE

＝0

n

•

B1A

＝0

，即

2y+z＝0

x+z＝0

（10分）
令x=2，则Z=-2，y=1，∴

n

＝(2，1，−2)
∴cos(

n

，

B1F

)＝(n•B1F)/(|n|•|B1F|)=(6)/(√(9)×√(24))＝(√(6))/(6)
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为(√(6))/(6)（12分）

方法2：（I）方法i：设G是AB的中点，连接DG，
则DG平行且等于EC，（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线
于点P，连接BP．由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，
可证A₁E=EP，（2分）
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，又∵B₁B⊥平面ABC，可证B₁F⊥AF，（6分）
设AB=AA₁=2，则B1F＝√(6)，EF＝√(3)，B1E＝3
∴B₁F⊥EF，∴B₁F⊥平面AEF；（8分）

（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B₁M，
∵B₁F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B₁M⊥AE，
∴∠B₁MF为二面角B₁-AE-F的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求FM＝(√(10))/(5)，（10分）
在Rt△B₁FM中，∠B₁FM=90°，∴cos∠B1MF＝(√(6))/(6)
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为(√(6))/(6)（12分）