如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PE中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD；（Ⅲ）求EA和平面ABCD所成的角；（Ⅳ）求二面角E-A

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E为PE中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅲ）求EA和平面ABCD所成的角；
（Ⅳ）求二面角E-AC-D的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设BD∩AC=O，则由四边形ABCD为正方形，可得O为BD的中点，
再根据E为PE中点，可得OE为△PBD的中位线，故有OE∥PB．
而OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC．
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又正方形ABCD中，AD⊥CD，
且PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
再根据CD⊂平面PCD，可得平面PCD⊥平面PAD．
（Ⅲ）取AD得中点H，则EH是△PAD的中位线，故有EH∥PA．
由PA⊥平面ABCD 可得EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为EA和平面ABCD所成的角．
由PA=AB=2，可得EH=1，AH=1，∴tan∠EAH=(EH)/(AH)=1，∴∠EAH=(π)/(4)，
即EA和平面ABCD所成的角为(π)/(4)．
（Ⅳ）作HM⊥AC，M为垂足，由三垂线定理可得EM⊥AC，∠EMH为二面角E-AC-D的平面角．
由于HM=(1)/(2)DO=(√(2))/(2)，∴tan∠EMH=(EH)/(HM)=(1)/((√(2))/(2))=√(2)．