半径为r的圆外切正三角形的边长与它的内接正方形的边长之比?作业题一道,请快速做出!

Question

半径为r的圆外切正三角形的边长与它的内接正方形的边长之比?
作业题一道,请快速做出!

Answer 1

外切正三角形的高过圆心
其中圆心到底边交点距离 R,到定点距离 2R
可以定位三个点：圆心、三角形的高和圆在三角形内的交点、圆和三角形的的另外一个切点
这三个点构成一个三角形
这个三角形就是圆的内接正六边形的 1/6
圆心、三角形的顶点、切点构成另外一个三角形,它的面积是上述三角形的两倍（高一样,底边是 2R）,是外切正三角形的 1/6
所以,答案是：2
另一种做法：等边三角形面积 S 是边长 a 的平方乘以 sqrt(3)/2,内切圆半径 R = a·sqrt(3)/6；圆的内接六边形面积是 6s,s 是边长为 R 的小正三角形面积,R*R*sqrt(3)/2 = a*a*sqrt(3)/24,所以 6s = a*a*sqrt(3)/4 = S/2