如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．（1）求这两个内切圆的半径之和；（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时

Question

如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？

Answer 1

（1）由图知∠CEO₁=90°，CE=O₁E=R₁
∴2R₁²=CO₁²，CO₁=√(2)R1．
同理AO₂=√(2)R2．
∴AC=AO₂+O₂O₁+O₁C
=√(2)（R₁+R₂）+（R₁+R₂）
=(√(2)+1)（R₁+R₂），
又∵AB=1，∴AC=√(2)
∴(√(2)+1)（R₁+R₂）=√(2)，
∴R₁+R₂=

作业帮用户 2017-10-20

问题解析

（1）由题意可知三角形CEO₁为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO₁等于

√(2)√(2)R₁；同理得到AO₂等于√(2)R₂，根据线段AC等于AO₂+O₂O₁+O₁C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R₂，代入两圆的面积之和的式子中消去R₂，得到关于R₁的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．

名师点评

本题考点：

圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评：

此题考查学生掌握正方形的性质，掌握直线与圆相切时所满足的条件以及两圆外切时所满足的条件，是一道多知识的综合题．

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