已知三角形abc内接于圆o,ad是圆o的直径,e为垂足,ce的延长线交ab与点f,求证ac2=af•ab

Question

已知三角形abc内接于圆o,ad是圆o的直径,e为垂足,ce的延长线交ab与点f,求证ac2=af•ab

Answer 1

原题没有说清楚.经分析,应为：已知三角形ABC内接于圆O,AD是圆O的直径,CE⊥AD,E为垂足,CE的延长线交AB于点F,求证：AC²=AF•AB
证明：连接BD,CD.
∵AD为直径（已知）
∴∠ABD=90°,∠ACD=90°（直径所对的圆周角为直角）
∵CE⊥AD
∴AC²=AE•AD（射影定理,证明略）……1
在RT⊿AEF和RT⊿AABD中
∵∠AEF=∠ABD=90°,∠A为公用角
∴⊿AEF∽⊿ABD
∴AE/AB=AF/AD
∴AF•AB=AE•AD……2
由1和2得：AC²=AF•AB
——————
附录：射影定理证明
在RT⊿ACE和RT⊿ADC中,∠AEC=∠ACD=90°,∠CAD为公用角
所以：RT⊿ACE∽RT⊿ADC,则AE/AC=AC/AD=CE/CD
即：AC²=AE·AD……a
且：CE/AE=CD/AC……3
同理可证：RT⊿DCE∽RT⊿DAC,对应边成比例.
即：CD²=DE·AD……b
且：DE/CE=CD/AC……4
由3和4得：CE/AE=DE/CE
即：CE²=AE·DE……c
a、b、c三条即为：直角三角形的射影定理.可以作定理使用.