如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=2CD．

Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中

AB

上一点，延长DA至点E，使CE=CD．

（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=√(2)CD．

Answer 1

证明：（1）在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，

CE=CD

∠ACE=∠

AC=BC

BCD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD．
（2）的结论应该为AD+BD=√(2)CD
证明：作CF⊥CD，交DA的延长线于F，
∵AC⊥BC，AC=BC，
∴O在AB上，∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CDA=∠CBA=45°，
∴∠F=180°-∠FCD-∠CDA=45°=∠CDA，
∴CF=CD，
∵∠FCD=∠ACB=90°，
∴∠FCA=∠BCD，
在△ACF和△BCD中

AC=BC

∠BCD=∠ACF

CF=CD

，
∴△ACF≌△BCD，
∴BD=AF，
∴AD+BD=AD+AF=DF，
在△DCF中，由勾股定理得：DF=√(CD2+CF2)=√(2)CD．
∴AD+BD=√(2)CD．