一个几何证明题一个圆的内接四边形,各边长的平方之和等于对角线长度的平方之和!托勒密定理：如果ABCD是圆内接四边形，那么AB×CD＋BC×AD＝AC×BD.

Question

一个几何证明题
一个圆的内接四边形,各边长的平方之和等于对角线长度的平方之和!
托勒密定理：如果ABCD是圆内接四边形，那么
AB×CD＋BC×AD＝AC×BD.

Answer 1

设ABCD是圆内接四边形.在弦BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB.在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD.因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD △KBC.因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA； 两式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA.证毕.
其实托勒密　在任意凸四边形ABCD中(如右图),作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.　　则△ABE∽△ACD 　　所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,　　所以△ABC∽△AED.　　BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) 　　(1)+(2),得 　　AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 　　又因为BE+ED≥BD 　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理”）