如图所示，圆环固定于竖直平面内，长方形空心闭合细管道ABCDA内接于圆环，管道AB长度小于AD长度，竖直的空心细管道AC为对角线．小球由A点静止释放沿管道ABC运动到C点，通过AB、BC段时间

Question

如图所示，圆环固定于竖直平面内，长方形空心闭合细管道ABCDA内接于圆环，管道AB长度小于AD长度，竖直的空心细管道AC为对角线．小球由A点静止释放沿管道ABC运动到C点，通过AB、BC段时间分别为t₁、t₂；小球由A点静止释放沿管道AC运动到C点，所用时间为t₃；小球由A点静止释放沿管道ADC运动到C点，通过AD、DC段时间分别为t₄、t₅．小球通过B、D两点时机械能损失不计，不计摩擦．下列关系式中正确的是（　　）

A．t₁=t₃=t₄
B．t₂=t₃=t₅
C．t₂＜t₃
D．t₁+t₂＞t₄+t₅

Answer 1

设AC=d，∠ACB=α．设小球沿AB、BC、AC、AD、DC下滑的加速度大小分别为a₁、a₂、a₃、a₄、a₅．
根据牛顿第二定律得：a₁=a₅=(mgsinα)/(m)=gsinα，a₂=a₄=(mgsin(90°−α))/(m)=gcosα，a₃=g
则对于AB段有：dsinα=(1)/(2)a1

t

2 1

=(1)/(2)gsinα

t

2 1

，得t₁=√((2d)/(g))；
对于AC段有：d=(1)/(2)g

t

2 3

，得t₃=√((2d)/(g))；
对于AD段有：dcosα=(1)/(2)a4

t

2 4

=(1)/(2)gcosα

t

2 4

，得t₄=√((2d)/(g))，所以有t₁=t₃=t₄．
对于BC段有：dcosα=a₁t₁•

t

2 2

+(1)/(2)a2

t

2 2

=gsinαt₁•t₂+(1)/(2)gcosα

t

2 2

，则得t₂＜√((2d)/(g))，所以t₂＜t₃；
设小球经过B、D、C的速度大小分别为：v_B、v_D、v_C．
根据机械能守恒可得：v_B＜v_D．
因为BC＞DC，则有：(vB+vC)/(2)t2＞(vD+vC)/(2)t5，所以解得t₂＞t₅；
因为t₁=t₄，所以有t₁+t₂＞t₄+t₅．
故选：ACD．