△ABC为不等边三角形．∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2，同样得到B1，B2，C1，C2．求证：A1A2=B1B2=C1C2．

Question

△ABC为不等边三角形．∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A₁，A₂，同样得到B₁，B₂，C₁，C₂．求证：A₁A₂=B₁B₂=C₁C₂．

Answer 1

证明：连接A₁B，A₁C，过A₁做A₁F⊥AC于F，A₁E⊥AB于E，
∵连接A₁B、A₁C，
∵AA₁平分∠BAC，
∴A₁E=A₁F，
∵A₁在BC的中垂线上，
∴A₁B=A₁C，
∵∠BEA₁=∠CFA₁=90°，
∴Rt△A₁EB～Rt△A₁FC，
∴∠ABA₁=∠A₁CF，
∵∠A₁CF+∠ACA₁=180°，
∴∠ABA₁+∠ACA₁=180°，
∴A、B、A₁、C四点共圆，
同理A、A₂、B、C四点共圆，
从而知A₁、A₂都在△ABC的外接圆上，
∵AA₁平分∠BAC，AA₂平分∠MAB，
∴∠A₂AA₁=(1)/(2)×180°=90°，
∴A₁A₂是△ABC的外接圆的直径，
同理可证：B₁B₂、C₁C₂也是ABC的外接圆的直径，
∴A₁A₂=B₁B₂=C₁C₂．