如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=4，将△ABC折叠，使点A落在点B上，折痕所在直线交△ABC的外角平分线CD于点E，则点E到BC的距离为3232．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=4，将△ABC折叠，使点A落在点B上，折痕所在直线交△ABC的外角平分线CD于点E，则点E到BC的距离为

(3)/(2)

(3)/(2)

．

Answer 1

连接GB，作EF⊥BC于F，EM⊥AC于M，
∴∠EMC=∠EMG=∠EFC=90°
∵CD平分∠ACF，
∴EM=EF．∠ACD=(1)/(2)∠ACF，
∵∠C=90°，
∴∠ACF=90°，
∴∠ACD=45°，
∴∠CEM=45°，
∴∠CEM=∠ECM，
∴EM=EC．
∵△AGH与△BGH关于GH对称，
∴AH=(1)/(2)AB，AG=GB．∠AHG=∠BHG=90°．
∴∠EMG=∠ACB=∠AHG．
∵∠EGM=∠AGH，
∴△GEM∽△BAC，
∴(EM)/(MG)＝(AC)/(BC)，
∴EM=(AC)/(BC)•MG．
∴CM=(AC)/(BC)•MG=(AC)/(BC)（AC-AG-CM）．
∵∠A=∠A，∠ACB=∠AHG．
∴(AG)/(AB)＝(AH)/(AC)．
∴(AG)/(AB)＝((1)/(2)AB)/(AC)，
∴AG=(AB2)/(2AC)．
∴CM═(AC)/(BC)（AC-(AB2)/(2AC)-CM）．
∴CM=(AC2)/(BC)-(AB2)/(2BC)-(AC)/(BC)•CM，
∴2BC．CM=2AC²-AB²-2AC．CM，
∴（2BC+2AC）CM=2AC²-AB²，
∴CM=(2AC2−AB2)/(2BC+2AC)．
∵∠C=90°，AC=7，BC=4，
∴由勾股定理，得
AB=√(65)，
∴EM=(2×49−65)/(2×4+2×7)=(3)/(2)．
故答案为：(3)/(2)．