已知三角形中,两角的角平分线长相等,求证等腰△已知某个三角形中,两内角的角平分线长相等,求证这个三角形是等腰三角形.即：在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,并且满足CE=BD,

Question

已知三角形中,两角的角平分线长相等,求证等腰△
已知某个三角形中,两内角的角平分线长相等,求证这个三角形是等腰三角形.即：在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,并且满足CE=BD,求证AB=AC.
这是否是一个真命题?如何证明?
另外,斯坦纳定理是什么?

Answer 1

我先证明一个定理（这个定理对非等腰三角形也适用）
在△ABC中 AD为角平分线
那么  AD²=AB×AC-BD×CD
(不好意思我这个圆有点变态.)
证明：
延长AD交其外接圆于P连结CP
∠P=∠B  而∠CAP=∠DAB
所以△ABD∽△APC
所以AB/AD=AP/AC
即AB×AC=AD×AP
而AD×AP=AD×（AD+DP）=AD²+AD*DP=AD²+BD*CD
所以AD²=AB×AC-BD×CD
那么对应的我们设三边为abc
（角平分线分对边成比例性质知道么?
就是在这个题目里面就是AB/BC=AD/CD）
则ac-abc/（a+c）²=BD²=CE²=ab-abc/（a+b）²
（我跳了一步,楼主可以在草稿纸上算一下）
化简可以得到
1/a-1/b=[1/（b+c）+1/（a+c）][1/（b+c）-1/（a+c）]
很明显[1/（b+c）+1/（a+c）]大于0
则1/（b+c）-1/（a+c）=（a-b）/(b+c)(a+c)
若a＞b,那么左＜0,右＞0,这是不可能的
同样a＜b也不可能
所以a=b
即这个是等腰三角形
至于斯坦纳定理,需要引入新的定义,那就是西摩松线
为了节省空间我就在上面的图里画好了.
同样是△ABC（只不过不一定是等腰三角形）
同样是P（外接圆上一点）
过P作三边的垂线,垂足分别为S T R
那么STR三点在同一直线上
（图画得不好哈!建议楼主还是用尺规再画一下好了）
至于西摩松线的证明如下：
连结BP
容易证明DPRC四点共圆
所以∠CDR=∠CPR
因为∠BSP=∠BTP
所以BSTP也四点共圆
所以∠STB=∠SPB
而∠PSB=∠PRC=90°
∠PSB=180-∠ACP=∠PCR
所以△SBP∽△PCR
所以∠CDR=∠CPR=∠STB=∠SPB
所以STR在同一直线上
那么斯坦纳定理就是
设△ABC的垂心为H
外接圆上任意一点为P
关于△ABC的点P的西摩松线过线段PH的中点
要证明么?