已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．（1）如图1，当AC⊥DE，且AD=2时，求线段BC的长度；（2）如图2，当且CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，

Question

已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．

（1）如图1，当AC⊥DE，且 AD=2时，求线段BC的长度；
（2）如图2，当且CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF=EG．

Answer 1

（1） 如图1所示：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，AC⊥DE，AD=2，
∴BC=AC，DE=AD=2，DF=(1)/(2)DE=1，AF=CF，
∴AF=√(AD2-DF2)=√(3)，
∴AC=2AF=2√(3)，
∴BC=2√(3)；
（2）证明：连接CE，如图2所示：
∵ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E同一在一条直线上．
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠AED=60°，
∴∠ADB=120°，∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，

AB=AC

∠BAD=∠CAE

AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=120°，
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°，
∵CD⊥BE，
∴∠DCE=30°，
∴DE=(1)/(2)CE，
∵线段BC的中点为F，线段DC的中点为G，
∴FG∥BD，FG=(1)/(2)BD，
∴FG∥DE，FG=DE，
∴四边形DFGE是平行四边形，
∴DF=EG．