三角形ABC中,角C为直角,角A=30°,分别以AB、AC为边在三角形ABC的外侧做等边三角形ABE与等边三角形ACDDE与AB交与F,求证EF=FD

Question

三角形ABC中,角C为直角,角A=30°,分别以AB、AC为边在三角形ABC的外侧做等边三角形ABE与等边三角形ACD
DE与AB交与F,求证EF=FD

Answer 1

证明：
延长DA,作EM⊥DA,设BC＝a,
因为∠C＝90度,∠CAB＝30度
所以AC＝√3a,AB＝2a
因为三角形ABE、ACD是正三角形
所以AD＝AC＝√3a,AE＝AB＝2a,∠BAE＝∠CAD＝60度
所以∠EAM＝30度
所以EM＝AE/2＝a,AM＝√3*EM＝√3a
所以AD＝AM＝DM/2
因为∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝90度
所以AF//EM
所以DF/DE＝DA/DM＝1/2
所以EF＝FD