如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC内一点，且满足PA2+PB2=PC2．（1）求证：∠APB=150°．（2）当PB：PA：PC=1：3：2时，求证：∠APC=90°．（3）在（2）的条件下，求tan∠PCB的值．

Question

如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC内一点，且满足PA²+PB²=PC²．

（1）求证：∠APB=150°．
（2）当PB：PA：PC=1：√(3)：2时，求证：∠APC=90°．
（3）在（2）的条件下，求tan∠PCB的值．

Answer 1

（1）如图1，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDA，连接PD，
∴△BDP是等边三角形，PC=AD，
∴∠BPD=60°，PB=PD，
∵PA²+PB²=PC²
∴PA²+PD²=AD²，
∴△APD是直角三角形，
∴∠APD=90°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=90°+60°=150°，
（2）由（1）知，∠APD=90°，
∵PB：PA：PC=1：√(3)：2，
∴∠PAD=30°，
∴∠BAD+∠BAP=30°，
∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDA，连接PD
∴∠BCP=∠BAD，
∴∠BAP+∠BCP=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC+∠ACB=60°+60°=120°，
∴∠PAB+∠BAP+∠PCA+∠BCP=120°，
∴∠PAC+∠PCA=90°，
∴∠APC=90°，
（3）如图2，由（1）知，PC=AD，PB=PD，
由（1）知，∠APB=150°，
∴∠ABP+∠BAP=30°，
由（2）知，∠BAD+∠BAP=30°，
∴∠ABP=∠BAD，
∴PB∥AD，
∴(PB)/(AD)=(PE)/(DE)，
∴(PB)/(PC)=(PE)/(DE)，
∵PB：PA：PC=1：√(3)：2，
∴(PE)/(DE)=(1)/(2)，
设PE=x，则DE=2x，
∴PB=PD=PE+DE=3x，PC=2PB=6x，
由（2）知，∠ADP=60°，
在Rt△DEF中，DF=(1)/(2)DE=x，EF=(√(3))/(2)x，
∴AF=AD-DF=PC-DF=6x-x=5x，
在Rt△AEF中，tan∠EAF=(EF)/(AF)=((√(3))/(2)x)/(5x)=(√(3))/(10)，
由（2）知，∠PCB=∠EAF，
∴tan∠PCB=(√(3))/(10)．