如图所示,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥AC于点E,DF垂直BC于点F.（1）求证：CE=CF.（2）点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?请说明理由.

Question

如图所示,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥AC于点E,DF垂直BC于点F.（1）求证：CE=CF.（2）点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?请说明理由.

Answer 1

⑴∵CD为AB的垂直平分线,∴CA=CB,AD=BD,∴∠A=∠B,
∵∠AED=∠BFD=90°,∴ΔADE≌ΔBDF,
∴AE=BF,∴CA-AE=CB-BF,即CE=CF.
⑵当CD=AD时,四边形CEDF是正方形.
∴AD=CD=BD,CD⊥AB,∴∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠ACB=90°,又∠CED=∠CFD=90°,
∴四边形CEDF是矩形,又CE=CF,
∴四边形CEDF是正方形.