设f（x）=2xx+2，x1=1，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求x2，x3，x4的值；（Ⅱ）归纳{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Question

设f（x）=(2x)/(x+2)，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求x₂，x₃，x₄的值；
（Ⅱ）归纳{x_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（Ⅰ）x2＝f(x1)＝(2)/(3)，
x3＝f(x2)＝(2×(2)/(3))/((2)/(3)+2)＝(1)/(2)＝(2)/(4)，
x4＝f(x3)＝(2×(1)/(2))/((1)/(2)+2)＝(2)/(5)．
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 xn＝(2)/(n+1)．
当n=1时，x1＝(2)/(1+1)＝1，与已知相符，归纳出的公式成立．
假设当n=k（k∈N^*）时，公式成立，即xk＝(2)/(k+1)，
那么，xk+1＝(2xk)/(xk+2)＝(2×(2)/(k+1))/((2)/(k+1)+2)＝(4)/(2k+4)＝(2)/((k+1)+1)．
所以，当n=k+1时公式也成立．
综上，xn＝(2)/(n+1)对于任何n∈N^*都成立．