已知函数f（x）=-x3+ax在（-1，0）上是增函数．（1）求实数a的取值范围A；（2）当a为A中最小值时，定义数列{an}满足：a1∈（-1，0），且2an+1=f（an），用数学归纳法证明an∈（-1，0），并判断an

Question

已知函数f（x）=-x³+ax在（-1，0）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围A；
（2）当a为A中最小值时，定义数列{a_n}满足：a₁∈（-1，0），且2a_n+1=f（a_n），用数学归纳法证明a_n∈（-1，0），并判断a_n+1与a_n的大小．

Answer 1

（1）∵f′（x）=-3x²+a≥0即a≥3x²在x∈（-1，0）恒成立，a≥3．
∴a∈[3，+∞）；∴A=[3，+∞）；                            …（4分）
（2）用数学归纳法证明：a_n∈（-1，0）．
（ⅰ）n=1时，由题设a₁∈（-1，0）；
（ⅱ）假设n=k时，a_k∈（-1，0）
则当n=k+1时，ak+1＝(1)/(2)f(ak)＝(1)/(2)(−ak3+3ak)
由（1）知：f（x）=-x³+3x在（-1，0）上是增函数，又a_k∈（-1，0），
所以(1)/(2)(−(−1)3+3×(−1))＝−1＜ak+1＝(1)/(2)f(ak)＝(1)/(2)(−ak3+3ak)＜0，
综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意n∈N^*，a_n∈（-1，0）．                      …（8分）an+1−an＝(1)/(2)(−

a

3 n

+3an)−an＝−(1)/(2)an(an−1)(an+1)
因为a_n∈（-1，0），所以a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n．                     …（10分）