若(2x-1/x)的n次方展开式中含x的二次方分之一项的系数与含1/x4项的系数之比为-5,求n的值

Question

若(2x-1/x)的n次方展开式中含x的二次方分之一项的系数与含1/x4项的系数之比为-5,求n的值

Answer 1

(2x-1/x)的n次方展开式中含x的1/x^2项由C(n,i)*(2x)^i与C(n,n-i)*(-1/x)^(n-i)的积构成,这时有关系等式：n-i-i=2 i=(n-2)/2 系数＝C(n,(n-2)/2)*2^[(n-2)/2]*(-1)^[n-(n-2)/2]展开式中由C(n,j)*(2x)^j与C(n,n-j)*(-1/x)^(n-j)的积构成,这时有关系等式：n-j-j=4 j=(n-4)/2 系数＝C(n,(n-4)/2)*2^[(n-4)/2]*(-1)^[n-(n-4)/2]两系数之比＝C(n,(n-2)/2)*2^[(n-2)/2]*(-1)^[n-(n-2)/2]÷C(n,(n-4)/2)*2^[(n-4)/2]*(-1)^[n-(n-4)/2]＝－5化简得：2*C(n,(n-2)/2)÷C(n,(n-4)/2)＝52*C(n,n/2-1)÷C(n,n/2-2)＝52(n/2+2)/(n/2-1)=5n=6