已知fn（x）=（1+2x）n，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+f5（x）+f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若pn是fn（x）展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{an}是各项都大于1的数组成的数列

Question

已知f_n（x）=（1+2√(x)）ⁿ，n∈N^*．
（1）若g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x），求g（x）中含x²项的系数；
（2）若p_n是f_n（x）展开式中所有无理项的二项式系数和，数列{a_n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：((1+a1)(1+a2)…(1+an))/(a1a2…an+1)≤pn．

Answer 1

（1）g（x）=f₄（x）+f₅（x）+f₆（x）=（1+2√(x)）⁴+（1+2√(x)）⁵+（1+2√(x)）⁶，
∴g（x）中含x²项的系数为 16

C

4 4

+5

C

4 5

×16+15

C

4 6

×16=336．（3分）
（2）证明：由题意，p_n=2^n-1．（5分）
①当n=1时，p₁（a₁+1）=a₁+1，成立；
②假设当n=k时，p_k（a₁a₂…a_k+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）成立，
当n=k+1时，（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k-1（a₁a₂…a_k+1）（1+a_k+1）
=2^k-1（a₁a₂…a_ka_k+1+a₁a₂…a_k+a_k+1+1）．（*）
∵a_k＞1，a₁a₂…a_k（a_k+1-1）≥a_k+1-1，即a₁a₂…a_ka_k+1+1≥a₁a₂…a_k+a_k+1，
代入（*）式得（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k）（1+a_k+1）≤2^k（a₁a₂…a_ka_k+1+1）成立．
综合①②可知，p_n（a₁a₂…a_n+1）≥（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）对任意n∈N^*成立，
即((1+a1)(1+a2)…(1+an))/(a1a2…an+1)≤pn对任意n∈N^*成立．（10分）