已知a,b,c是三角形ABC的三边长,求证:a+b-c,a+c-b,b+c一a中至少有一个不大于a,b,c的几何平均数

Question

已知a,b,c是三角形ABC的三边长,求证:a+b-c,a+c-b,b+c一a中至少有一个不大于a,b,c的几何平均数

Answer 1

假设3者都>(abc)^(1/3)
3者相乘则：
(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)>abc
展开整理得：-a^3-b^3-c^3+a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b-3abc
=-[a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)]>0
由schur不等式可知a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)>=0
结论显然错误.
其实schur的等价形式就是(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)