已知x,y满足约束条件x+y小于等于3、x–y大于等于–1、y大于等于1.若0小于等于ax+by小于等于2,则b+2除以a+1的取值范围为

Question

已知x,y满足约束条件x+y小于等于3、x–y大于等于–1、y大于等于1.若0小于等于ax+by小于等于2,则b+2除以a+1的取值范围为

Answer 1

在平面直角坐标系(关于x、y的)中,作三条直线：y=1、y=3-x、y=x+1
这三条直线包围的三角形区域(含边界)即是不等式组：{y>=1; x+y=0;}的解集
该三角形区域的三个顶点分别是(0, 1)、(1, 2)、(2, 1)
分别考察x、y落在三个顶点时：
x=0、y=1,此时ax+by=b,即有0≤b≤2
x=1、y=2,此时ax+by=a+2b,即有0≤a+2b≤2
x=2、y=1,此时ax+by=2a+b,即有0≤2a+b≤2
可以验算,对于x、y落在该三角形区域(含边界)的除三个顶点之外的点的情形,确定出的a、b取值范围一定包含上述关于a、b的不等式组的解集,即：
所有由符合上述关于x、y的不等式组的取值组合(x, y)所确立的关于a、b的诸多不等式0≤ax+by≤2,其交集就是关于a、b的不等式组{0≤b≤2; 0≤a+2b≤2; 0≤2a+b≤2}的解集.
同样用平面直角坐标系(关于a、b的)来求解上述关于a、b的不等式组{0≤b≤2; 0≤a+2b≤2; 0≤2a+b≤2},可知解集为一个梯形区域,四个顶点坐标分别是(0, 0)、(-2/3, 4/3)、(2/3, 2/3)、(1, 0)
那么对这四个顶点分别求(b+2)/(a+1),可得：
a=0、b=0,此时(b+2)/(a+1)=2
a=-2/3、b=4/3,此时(b+2)/(a+1)=10
a=2/3、b=2/3,此时(b+2)/(a+1)=8/5
a=1、b=0,此时(b+2)/(a+1)=1
可以验算,对于a、b落在该梯形区域除这四个顶点之外的点的情形,(b+2)/(a+1)一定介于上述四个值中最小值1与最大值10之间.
所以：(b+2)/(a+1)的取值范围是[1, 10].