设函数f(x)＝13ax3+12bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)＝k(x)−12x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(

Question

设函数f(x)＝(1)/(3)ax3+(1)/(2)bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)＝k(x)−(1)/(2)x为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤(1)/(2)x2+(1)/(2)恒成立．
（Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
（Ⅱ）求证：(1)/(k(1))+(1)/(k(2))+…+(1)/(k(n))＞(2n)/(n+2)（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax²+bx+c．…（1分）
由g(x)＝k(x)−(1)/(2)x为偶函数，得g(x)＝ax2+bx+c−(1)/(2)x为偶函数，显然有b＝(1)/(2)．…（2分）
又k（-1）=0，所以a-b+c=0，即a+c＝(1)/(2)．…（3分）
又因为k(x)≤(1)/(2)x2+(1)/(2)对一切实数x恒成立，
即对一切实数x，不等式(a−(1)/(2))x2+(1)/(2)x+c−(1)/(2)≤0恒成立．…（4分）
显然，当a＝(1)/(2)时，不符合题意．…（5分）
当a≠(1)/(2)时，应满足

a−(1)/(2)＜0

△＝(1)/(4)−4(a−(1)/(2))(c−(1)/(2))≤0

，
注意到a+c＝(1)/(2)，解得a＝c＝(1)/(4)．…（7分）  所以k(x)＝(1)/(4)x2+(1)/(2)x+(1)/(4)． …（8分）
（Ⅱ）证明：因为k(n)＝(n2+2n+1)/(4)＝((n+1)2)/(4)，所以(1)/(k(n))＝

作业帮用户 2017-10-22

问题解析

（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根据g（x）的奇偶性求出b，根据k（-1）=0，求出a+c＝(1)/(2)，再由k(x)≤(1)/(2)x2+(1)/(2)对一切实数x恒成立，解得a、c的值，即得函数k（x）的表达式．
（Ⅱ）根据(1)/(k(n))＝(4)/((n+1)2)，即证(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/((n+1)2)＞(n)/(2n+4)，把(1)/((n+1)2)＞(1)/((n+1)(n+2))＝(1)/(n+1)−(1)/(n+2)代入要证不等式的左边化简即可证得不等式成立．

名师点评

本题考点：

综合法与分析法(选修）；函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：

本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的恒成立问题，利用导数研究曲线在某点的切线斜率，以及用裂项法对数列进行
求和，属于难题．

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