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已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成
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已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).
(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
(Ⅰ)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;
(Ⅱ)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)易知f′(x)=2x+b.由题设,对任意的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而c≥b24+1.于是c≥1,且c≥2b24×1=|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.故当x≥0时,有(x+...
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