选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|ax+2|，a∈R．（1）若f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），求a的值；（2）在（1）的条件下，解不等式f（x）＞|x+3|+5．

Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|ax+2|，a∈R．
（1）若f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）在（1）的条件下，解不等式f（x）＞|x+3|+5．

Answer 1

（1）∵f（x）=|ax+2|，f（x）≥6，
∴ax≥4，或ax≤-8．
当a=0时，不合题意．
当a＞0时，x≤−(8)/(a)，或x≥(4)/(a)．
∵f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），
∴

−(8)/(a)＝−1

(4)/(a)＝2

，此方程无解；
当a＜0时，x≤(4)/(a)，或x≥-(8)/(a)．
∵f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），
∴

−(8)/(a)＝2

(4)/(a)＝−1

，解得a=-4．
故a=-4．
（2）由（1）知f（x）＞|x+3|+5，
∴|-4x+2|＞|x+3|+5，
∴

x≤−3

−4x+2＞−x−3+5

，或

作业帮用户 2017-11-12

问题解析

（1）由f（x）=|ax+2|，f（x）≥6，知ax≥4，或ax≤-8．由f（x）≥6的解集是（-∞，-1]∪[2，+∞），利用a的符号进行分类讨论，能求出a．
（2）由（1）知|-4x+2|＞|x+3|+5等价于

x≤−3

−4x+2＞−x−3+5

，或

−3＜x≤(1)/(2)

−4x+2＞x+3+5

，或

x＞(1)/(2)

4x−2＞x+3+5

，由此能求出不等式f（x）＞||x+3|+5的解集．

名师点评

本题考点：

绝对值不等式的解法．

考点点评：

本题考查含绝对值不等式的解法，考查推理论证能力，考查分类讨论思想，考查等价转化思想，考查函数方程思想．解题时要认真审题，注意计算能力的培养．

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