设A是n阶实矩阵，A≠0，且A的每个元素和它的代数余子式相等，证明：A是可逆矩阵．

Question

设A是n阶实矩阵，A≠0，且A的每个元素和它的代数余子式相等，证明：A是可逆矩阵．

Answer 1

证明：由题意，设A=（a_ij）_n，则A=（A_ij）_n
而A*＝(Aij)T
∴A*＝(aij)nT=A^T
∴AA*＝(aij)n(aij)nT＝(

n

k＝1

aik2)n=|A|E
由已知A≠0
∴

n

k＝1

aik2≠0
∴|A|≠0
∴A可逆．