如图，正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC1的中点，AE交A1D于点H．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求二面角D-BA1-A的大小（用反三角函数表示）（3）求点B1

Question

如图，正三棱柱ABC-A ₁ B ₁ C ₁ 所有棱长都是2，D是棱AC的中点，E是棱CC ₁ 的中点，AE交A ₁ D于点H．
（1）求证：AE⊥平面A ₁ BD；
（2）求二面角D-BA ₁ -A的大小（用反三角函数表示）
（3）求点B ₁ 到平面A ₁ BD的距离．

Answer 1

（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（-1，0，0）
E（-1，-1，0）A ₁ （1，-2，0）C ₁ （-1，-2，0）B （0，0，

3

）

AE

=（-2，-1，0）

A 1 D

=（-1，2，0）

BD

=（0.0，-

3

）

∵

AE

•

A 1 D

=2-2+0=0
∵

AE

•

BD

=0，∴∴

AE

⊥

A 1 D

，

AE

⊥

BD

即AE⊥A ₁ D，AE⊥BD，又A ₁ D∩BD=D
∴AE⊥面A ₁ BD
（2）设面DA ₁ B的法向量为

n 1

=（x ₁ ，y ₁ ，z ₁ ）由

n 1

•

A 1 D

=0，

n 1

•

BD

=0
得

- x 1 +2 y 1 =0

z 1 (-

3

)=0

取

n 1

=（2，1，0）
设面BA ₁ A的法向量为

n 2 =

( x 2 ， y 2 ， z 2 ) ，
同理由

n 2

•

A 1 B

=0，

n 2

•

A 1 A

=0
解得

n 2

=（3.0，

3

），
cos＜

n 1

，

n 2

＞= (6)/(5×12) =(15)/(5) ．
由图可知二面角D-BA ₁ -A为锐二面角，所以它的大小为arccos (15)/(5) ．
（3）

B 1 B

=（0，2，0）平面A ₁ BD的法向量取

n 1

=（2，1，0）
则点B ₁ 到平面A ₁ BD的距离d= |(B1 B•n1)/(|n1|) |=(2)/(5) =(25)/(5) ．