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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小(结果用反三角函数表示)(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使得BF1∥平面A1BE,若存在,指明点F的位置,若不
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在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.

(1)求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小(结果用反三角函数表示)
(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使得BF1∥平面A1BE,若存在,指明点F的位置,若不存在,请说明理由.

(1)求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小(结果用反三角函数表示)
(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使得BF1∥平面A1BE,若存在,指明点F的位置,若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图(a),取AA1的中点M,连接EM,BM,因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EM∥AD.
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中.AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,
∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=
=3,BM=
=
于是在Rt△BEM中,tan∠EBM=
=
,
即直线BE与平面ABB1A1所成的角是arctan
.
(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE,
事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,
因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,
因此D1C∥A1B,又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D1C,从而EG∥A1B,这说明A1,B,G,E共面,所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF为平行四边形,所以B1F∥BG,而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.

又在正方体ABCD-A1B1C1D1中.AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,
∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角.
设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE=
22+22+12 |
32-22 |
5 |
于是在Rt△BEM中,tan∠EBM=
ME |
BM |
2
| ||
5 |
即直线BE与平面ABB1A1所成的角是arctan
2
| ||
5 |
(2)在棱C1D1上存在点F,使B1F平面A1BE,
事实上,如图(b)所示,分别取C1D1和CD的中点F,G,连接EG,BG,CD1,FG,
因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,
因此D1C∥A1B,又E,G分别为D1D,CD的中点,所以EG∥D1C,从而EG∥A1B,这说明A1,B,G,E共面,所以BG⊂平面A1BE
因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形,F,G分别为C1D1和CD的中点,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四边形B1BGF为平行四边形,所以B1F∥BG,而B1F⊄平面A1BE,BG⊂平面A1BE,故B1F∥平面A1BE.
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