如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A ₁ B ₁ C ₁ 中，AB=2，AC=AA ₁ =4，∠ABC=90°．
（1）求三棱柱ABC﹣A ₁ B ₁ C ₁ 的表面积S；
（2）求异面直线A ₁ B与AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，
所以BC= ．
S _△ABC = ×AB×BC=2 ．
所以S=2S _△ABC +S _侧 =4 +（2+2 +4）×4=24+12 ．
（2）连接BC ₁ ，因为AC∥A ₁ C ₁ ，
所以∠BA ₁ C ₁ 就是异面直线A ₁ B与AC所成的角（或其补角）．
在△A ₁ BC ₁ 中，A ₁ B=2 ，BC ₁ =2 ，A ₁ C ₁ =4，
由余弦定理可得cos∠BA ₁ C ₁ = ，
所以∠BA ₁ C ₁ =arccos ．
即异面直线A ₁ B与AC所成角的大小为arccos ．