如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=kx（k>0）的图象经过BC边的中点D（3，1）（1）求这个反比例函数的表达式；（2）若△ABC与△EFG成中心对称

Question

如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函数y=(k)/(x)（k>0）的图象经过BC边的中点D（3，1）

（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．

Answer 1

（1）∵反比例函数y=(k)/(x)（k>0）的图象经过点D（3，1），
∴k=3×1=3，
∴反比例函数表达式为y=(3)/(x)；

（2）①∵D为BC的中点，
∴BC=2，
∵△ABC与△EFG成中心对称，
∴△ABC≌△EFG，
∴GF=BC=2，GE=AC=1，
∵点E在反比例函数的图象上，
∴E（1，3），即OG=3，
∴OF=OG-GF=1；
②如图，连接AF、BE，

∵AC=1，OC=3，
∴OA=GF=2，
在△AOF和△FGE中

AO=FG

∠AOF=∠FGE

OF=GE

∴△AOF≌△FGE（SAS），
∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，
∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，
∴EF∥AB，且EF=AB，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AF=EF，
∴四边形ABEF为菱形，
∵AF⊥EF，
∴四边形ABEF为正方形．