如图，已知抛物线y=-14x2+bx+4与x轴相交于AB两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．（1）求抛物线的表达式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，并求线段BC所在直线的函数表

Question

如图，已知抛物线y=-(1)/(4)x²+bx+4与x轴相交于AB两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（-2，0）．（1）求抛物线的表达式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，并求线段BC所在直线的函数表达式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-(1)/(4)x²+bx+4的图象经过点A（-2，0），
∴-(1)/(4)×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=(3)/(2)，
∴抛物线解析式为 y=-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4，
又∵y=-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4=-(1)/(4)（x-3）²+(25)/(4)，
∴对称轴方程为：x=3．

（2）在y=-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4中，令x=0，得y=4，
∴C（0，4）；
令y=0，即-(1)/(4)x²+(3)/(2)x+4=0，整理得x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：

8k+b＝0

b＝4

，
解得：

k＝−(1)/(2)

b＝4

，
∴直线BC的解析式为：y=-

作业帮用户 2017-11-06

问题解析

（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=-(b)/(2a)求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（3）问，符合条件的等腰三角形△ACQ可能有多种情形，需要分类讨论．

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