如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（）A.1B.2C.3D.4

Question

如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer 1

由已知3n+1是一个完全平方数，所以我们就设3n+1=a²，
显然a²不是3的倍数，于是a=3x±1，
从而3n+1=a²=9x²±6x+1，n=3x²±2x，
即n+1=2x²+（x±1）²=x²+x²+（x±1）²，
即把n+1写为了x，x，x±1这三个数的平方和，
也就是说表示成了3个完全平方数的和，
所以k=3．
故选C．