基本初等函数导数公式如何推得请写出对数函数的过程

Question

基本初等函数导数公式如何推得
请写出对数函数的过程

Answer 1

找本高等数学的书,上面有详细证明.
如果只用高中知识,我也不知怎样证.
因为要用到重要极限：
lim (x→∞) (1 +1/x)^x =e.
等价为
lim (x→0) (1 +x) ^(1/x) =e.
求证：(ln x)' =1/x.
证明：(ln x)' = lim (Δx →0) [ ln (x +Δx) -ln x ] / Δx
= lim (Δx →0) ln (1 +Δx /x ) / Δx
= lim (Δx →0) ln (1 +Δx /x ) *(x /Δx) *(1/x)
= (1/x) lim (Δx →0) ln (1 +Δx /x )^(x /Δx).
令 t=Δx /x, 则 当 Δx →0 时, t→0.
所以 (ln x)' = (1/x) lim (t→0) ln (1 +t)^(1/t)
= (1/x) ln e
=1/x.