相邻两项的差为等比数列的数列通用表达式是什么?我们都知道等差数列可以用一次函数表达,等比数列可以用指数函数表达,差为等差数列就用二次函数表达,差的差为等差数列可以用三次的

Question

相邻两项的差为等比数列的数列通用表达式是什么?
我们都知道 等差数列可以用一次函数表达,等比数列可以用指数函数表达,差为等差数列就用二次函数表达,差的差为等差数列可以用三次的函数表达.比为等比数列可以用指数的指数次的函数表达.
那么我在这里问下,差为等比数列的数列用什么表达?比为等差数列的数列用什么表达?
比如｛1,5,21,85,341｝ ｛1,2,6,24,120,720｝ 这两个数列的通项公式是什么?

Answer 1

第一个数列
a2-a1=4,a3-a2=16
于是：a(n+1)-an=4^n【等比数列通项公式】
an-a(n-1)=4^(n-1)
……
a3-a2=16
a2-a1=4
以上累加得an-a1=4+4²+……+4^(n-1)=-(4-4^n)/3
于是an=-[(4-4^n)/3]+1=(-1+4^n)/3
第二个
类似可得：b(n+1)-bn=4^(n-1)
bn-b(n-1)=4^(n-2)
……
b3-b2=4
b2-b1=1
以上累加得bn-b1=1+4+……+4^(n-2)=[-1+4^(n-1)]/3
bn=1+[-1+4^(n-1)]/3=[2+4^(n-1)]/3