解析几何的问题如果已知一个平面方程为Ax+By+Cz=D。那么如何求其法线与三个坐标轴夹角的余弦值？如果这个方程是一个曲面方程Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz=G，那么其在点（x1,y1,z1)处的法线与三个

Question

解析几何的问题如果已知一个平面方程为Ax+By+Cz=D。那么如何求其法线与三个坐标轴夹角的余弦值？如果这个方程是一个曲面方程Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz=G，那么其在点（x1,y1,z1)处的法线与三个坐标轴夹角的余弦值怎么求？

Answer 1

已知一个平面方程为Ax+By+Cz=D。其一个法向量就是（A,B,C), 法线与三个坐标轴夹角的余弦值就是法向量与三个坐标轴夹角的余弦值，公式为 曲面方程Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz=G在点（x1,y1,z1)处的法线即平面在该点切平面的法线 其在点（x1,y1,z1)处切平面的法线与三个坐标轴夹角的余弦值，也即在点（x1,y1,z1)处切平面的一个法向量与三个坐标轴夹角的余弦值，由前面的解答，现在只需求出曲面在点（x1,y1,z1)处切平面的一个法向量： 由微分几何结论知，若曲面方程是F(x,y,z)=0, 曲面在点M（x1,y1,z1)处切平面的一个法向量的三个分量就是F(x,y,z)在点（x1,y1,z1)的三个偏导数的值。 需要指出的是，你这里的曲面只是个二次曲面，上述结论对于一切在M（x1,y1,z1)处可求偏导数的F(x,y,z)皆成立。