问一道数学题（关于平面几何的)正方形ABCD被两条平行线EF,GH分割成四个小矩形.P是EF,GH的交点,链接AH,AF,（A,G,R共线,A,E,D共线）若矩形PFCH的面积恰好是矩形面积AGPE的二倍,求角HAF的大小

Question

问一道数学题（关于平面几何的)
正方形ABCD被两条平行线EF,GH分割成四个小矩形.P是EF,GH的交点,链接AH,AF,（A,G,R共线,A,E,D共线）若矩形PFCH的面积恰好是矩形面积AGPE的二倍,求角HAF的大小

Answer 1

令正方形边长为a,AGPE边长为x.有
（a - x）^2 = 2 x^2
=> x = (2开方 - 1)a
=> AH = AF = (AD^2 + DH^2)开方 ＝ （9 － 6×2开方）开方
=> HF = (CH^2 + CF^2)开方 ＝ （2开方×2 － 2）a.
由余弦定理得 cos角HAF ＝ (AH^2 + AF^2 - HF^2) /2AH*HF
=> cos角HAF ＝ （8 － 3×2开方）/9
角HAF = arccos （8 － 3×2开方）/9