（2012•朝阳区二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1．（Ⅰ）若点M在线段AC上，且满足CM=14CA，求证：EM∥平面FBC；（Ⅱ）求证：AF⊥平面EBC

Question

（2012•朝阳区二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1．
（Ⅰ）若点M在线段AC上，且满足CM=(1)/(4)CA，求证：EM∥平面FBC；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面EBC；
（Ⅲ）求二面角A-FB-D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，
则MN∥AB．
又∵CM＝(1)/(4)AC，
∴MN＝(1)/(4)AB．
又∵EF∥AB且EF＝(1)/(4)AB，
∴EF∥MN．且EF=MN．
∴四边形EFNM为平行四边形．
∴EM∥FN．
又FN⊂平面FBC，EM⊄平面FBC，
∴EM∥平面FBC．
（Ⅱ）∵EF∥AB，
∴EF与AB可确定平面EABF，
∵EA⊥平面ABCD，
∴EA⊥BC．
由已知得AB⊥BC且EA∩AB=A，
∴BC⊥平面EABF．
又AF⊂平面EABF，
∴BC⊥AF．
在四边形ABFE中，AB=4，AE=2，EF=1，∠BAE=∠AEF=90°
设AF∩BE=P，
∵∠PAE+∠PAB=90°，
∴∠PBA+∠PAB=90°
则∠APB=90°，
∴EB⊥AF．
又∵EB∩BC=B，
∴AF⊥平面EBC．
（Ⅲ）以AB为x轴，AD为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，
则B（4，0，0），D（0，4，0），F（1，0，2）．
∴

BD

＝(−4，4，0)，

BF

＝(1，−4，2)
设平面BDF的法向量为

m

（a，b，c），
则√(m•BD＝0作业帮用户2017-09-19问题解析（I）过M作MN⊥BC，垂足为N，连结FN，则MN∥AB，又可得EF∥MN，从而四边形EFNM为平行四边形，所以EM∥FN，最后根据线面平行的判定定理，即可得到EM∥平面FBC；（Ⅱ）先利用线面垂直的性质和勾股定理证出BC⊥AF，EB⊥AF，从而证出AF⊥平面EBC；（Ⅲ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，求解即可．名师点评本题考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．考点点评：本题主要考查线面平行的判定定理及线面垂直的性质，考查二面角的求法，考查法向量的应用，是一个综合题目，题目的运算量不大，理解相关定理的内容是解决该类题目的基础．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)