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立体几何证明题,不要用向量证明棱长为a的正方形ABCD-A1B1C1D1中,EF分别是AB和BC的中点.M为棱B1B的中点,求证EF垂直平面BB1D1D,平面EFB1垂直平面D1C1M
题目详情
立体几何证明题,不要用向量证明
棱长为a的正方形ABCD-A1B1C1D1中,E F分别是AB和BC的中点.M为棱B1B的中点,求证EF垂直平面BB1D1D,平面EFB1垂直平面D1C1M
棱长为a的正方形ABCD-A1B1C1D1中,E F分别是AB和BC的中点.M为棱B1B的中点,求证EF垂直平面BB1D1D,平面EFB1垂直平面D1C1M
▼优质解答
答案和解析
连接AC在三角形ABC中,因为EF分别是AB BC中点
所以EF//AC,
又因为BD垂直AC（对角线）
所以EF垂直BD
又因为BB1垂直平面ABCD
EF在平面ABCD上
所以BB1垂直EF
又因为BD交BB1为B
所以EF垂直平面BB1D1D
因为EF垂直平面BB1D1D
DM在平面BB1D1D上
所以DM垂直EF
设BD交EF于点Q
连QB1 DB1
在平面BB1D1D上
D1B1=a*根号2 B1M=a/2 BB1=a QB=a根号2 /4
易证三角形D1MB1相似三角形B1QB
所以D1M垂直QB1
因为QB1交EF为点Q
所以D1M垂直平面EFB1
又因为D1M在平面D1C1M上
所以平面EFB1垂直平面D1C1M
所以EF//AC,
又因为BD垂直AC（对角线）
所以EF垂直BD
又因为BB1垂直平面ABCD
EF在平面ABCD上
所以BB1垂直EF
又因为BD交BB1为B
所以EF垂直平面BB1D1D
因为EF垂直平面BB1D1D
DM在平面BB1D1D上
所以DM垂直EF
设BD交EF于点Q
连QB1 DB1
在平面BB1D1D上
D1B1=a*根号2 B1M=a/2 BB1=a QB=a根号2 /4
易证三角形D1MB1相似三角形B1QB
所以D1M垂直QB1
因为QB1交EF为点Q
所以D1M垂直平面EFB1
又因为D1M在平面D1C1M上
所以平面EFB1垂直平面D1C1M
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