空间向量在立体几何中的应用知识点?

Question

空间向量在立体几何中的应用 知识点?

Answer 1

关于空间向量在立体几何中的应用问题,其中最主要的计算都是围绕平面的法向量展开的.在绝大部分题目中,空间向量是作为数学工具来解决两类问题：一、垂直问题,尤其是线面垂直问题（面面垂直基本类似）；二、角度问题,主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化（线面角与此类似）.而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的.
平面法向量的基本概念.法向量是指与已知平面垂直的向量,它可以根据选取的坐标不同有无数多个,但一般取其中较为方便计算的.
平面法向量的基本计算.根据图形建立合适的坐标系,设出已知平面的法向量为n(x,y,z),在已知平面内寻找两条相交直线a,b,并用向量表示它们.由于法向量垂直于平面,则必然垂直这两条直线,利用垂直向量点乘为零列出方程组.由于有三个未知数x,y,z,一般是设其中一个为特殊值,求出另外两个（前面说过,法向量有无数多个,我们只需算出其中一个即可）.
平面法向量的基本应用.在求出法向量后,如要证明线面垂直,只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直,只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角,只需求出直线和法向量所成的角（利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值,它和所求的线面角互余）；如要求二面角大小,只需求出两个平面的法向量所成的角（同样利用点乘公式求出这个角的余弦值,它和所求的二面角的平面角相等或互补,然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可）.参考资料：新东方