关于极限思想,立体几何的一个数学问题.用平行于半球底面的平面将这个半球截成n个高度相等的部分,当n=+∞时,半球被截得的n个部分相当于n个圆柱体,则有∑（V圆柱）=V半球.易得：π[R2-(R-R/n)

Question

关于极限思想,立体几何的一个数学问题.
用平行于半球底面的平面将这个半球截成n个高度相等的部分,当n=+∞时,半球被截得的n个部分相当于n个圆柱体,则有∑（V圆柱）=V半球.
易得：
π[R2-(R-R/n)2+R2-(R-2R/n)2…+R2-(R-nR/n)2]×R/n=2/3πR3 (n=+∞)
[1-(1-1/n)2+1-(1-2/n)2+…+1-(1-n/n)2]×1/n=2/3 (n=+∞)
{n-[(1-1/n)2+(1-2/n)2+…+(1-1/n)2]}×1/n=2/3 (n=+∞)
[2/n×(1+2+…+n)-1/n2(12+22+…+n2)]×1/n=2/3 (n=+∞)
(2n+1-2)/(n2)-(n+1)(2n+1)/(6n)=2/3 (n=+∞)
但是事实并不是这样的,为什么呢?

Answer 1

这里,你还是用的有限的思想去解决的无限的问题的,这里需要用到的是你以后学的极限的思想.在极限里,你所写出来的式子的左边那部分的最后一项不是那样的,而是省略号,因为最后当n=无穷大时,等式左边是有无穷项的,而你所写的就是有n项的.这些都是到你后来大学的时候学习的,你也可以借大学的微积分来看,
就想以前学的：0.33333……=1/3一样,你不能写成：0.33333……3＝1/3