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被积函数连续,证明：∫（0,π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
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被积函数连续,证明：∫（0,π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
▼优质解答
答案和解析
换元法.
∫（0,π）f(sinx）dx
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(π／2,π)f(sinx）dx
换元,将后式中的x换成π-t
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx-∫(0,π/2,)f(sin(π-t)）d(π-t)
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π/2)f(sin(t)）dt
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π／2)f(sinx）dx
=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
∴ ∫（0,π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
∫（0,π）f(sinx）dx
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(π／2,π)f(sinx）dx
换元,将后式中的x换成π-t
= ∫(0,π／2)f(sinx）dx-∫(0,π/2,)f(sin(π-t)）d(π-t)
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π/2)f(sin(t)）dt
=∫(0,π／2)f(sinx）dx+∫(0,π／2)f(sinx）dx
=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
∴ ∫（0,π）f(sinx）dx=2∫(0,π／2)f(sinx）dx
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