积分范围是0到π/2.被积函数是cosx的n次方.最好能写出推导过程,

Question

积分范围是0到π/2.被积函数是cosx的n次方.最好能写出推导过程,

Answer 1

分部积分：In=∫(cosx)^ndx=∫(cosx)^(n-1)dsinx
=sinx(cosx)^(n-1)+(n-1)∫(sinx)^2(cosx)^(n-2)dx
=( n-1)∫(1-cosx^2)(cosx)^(n-2)dx
=(n-1)∫(cosx)^(n-2)-(cosx)^ndx
=(n-1)∫(cosx)^(n-2)dx-（n-1）∫(cosx)^ndx
=(n-1)[I(n-2)-In]   (以上积分区间都是在0和二分之π之间)
得到In与I(n-2)之间的递推公式：
In=(n-1)I(n-2)/(2-n)
I(0)=∫1dx=x=π/2
I(1)=∫cosxdx=sinx=1
……
然后套用递推公式,当然尾数是0,1是跟奇偶性相关,就得出两个结果了 .结果比较复杂,符号太多,见图.左右两边同除以π/2就可以了.