五只猴子去摘香蕉,不知摘了几个,第一只猴子把香蕉分为五份,剩一个,他拿走了其中一份,第二个把第一个猴子分的剩下的有分为五分,又剩一个；以次类推,最后正好分完,问最少一共有多少可

Question

五只猴子去摘香蕉,不知摘了几个,第一只猴子把香蕉分为五份,剩一个,他拿走了其中一份,第二个把第一个猴子分的剩下的有分为五分,又剩一个；以次类推,最后正好分完,问最少一共有多少可个香蕉?

Answer 1

设第n次后剩余An个,组成数列得:
最开始为A0
当n>0时:
后一次的数量=[(前一次的数量-1)/5]*4
即:An=(4/5)[A(n-1)-1]=(4/5)*A(n-1)-4/5
两边+4得:
An+4=(4/5)A(n-1)+16/5=(4/5)[a(n-1)+4]
A(5)+4
=(4/5)[a(4)+4]
=(4/5)²[a(3)+4]
=(4/5)³[a(2)+4]
=(4/5)^4*[a(1)+4]
=(4/5)^5[a(0)+4]
即:[A(5)+4]*5^5=[a(0)+4]*4^5
假设T=[A(5)+4]*5^5=[a(0)+4]*4^5
因此T要能被5^5整除,即3125的倍数.
T又要能被4^5整除,即1024的倍数.
因此T的最小值这:3200000
此时A(5)=3200000/(5^5)-4=1020
A(0)=3200000/(4^5)-4=3121
最少一共有3121个香蕉
最开始有A0=3121个
第1个猴子分过后剩余:A1=2496
第2个猴子分过后剩余:A2=1996
第3个猴子分过后剩余:A3=1596
第4个猴子分过后剩余:A4=1276
第5个猴子分过后剩余:A5=1020