定积分,从零到二派被积函数x乘以cosx的平方.

Question

定积分,从零到二派被积函数x乘以cosx的平方.

Answer 1

约定：∫[a,b] 表示求[a,b]上的定积分.
原题是:∫[0,2π] x(cosx)^2dx=?
∫[0,2π] x(cosx)^2dx
=∫[-π,π] (t+π)(cos(t+π))^2d(t+π) (设t=x-π)
=∫[-π,π] (t+π)(cost)^2dt
=∫[-π,π] t(cost)^2dt+π∫[-π,π] (cost)^2dt
=0+2π∫[0,π] (cost)^2dt (对称区间上,前一个是奇函数,后一个偶函数）
=π∫[0,π] (1+cos2t) dt
=π(t+(1/2)sin2t)|[0,π]
=π^2
希望对你有点帮助!