设数列{a2n-1}是公差为2的等差数列，数列{a2n}是公比为3的等比数列，数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），已知S3=a4，a3+a5=a4+2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若当n∈N*时，不等式2S2n-na2n-1＜

Question

设数列{a_2n-1}是公差为2的等差数列，数列{a_2n}是公比为3的等比数列，数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），已知S₃=a₄，a₃+a₅=a₄+2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若当n∈N^*时，不等式2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由S₃=a₄，得a₁+a₂+a₁+2=3a₂，即a₁+1=a₂  ①
由a₃+a₅=a₄+2，得a₁+2+a₁+4=3a₂+2，即2a₁+4=3a₂  ②
解①②得，a₁=1，a₂=2．
∴an=

n    n为奇数

2×3(n)/(2)-1    n为偶数

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
S2n=1+3+…+(2n-1)+2+2×3+…+2×3n-1
=(n(1+2n-1))/(2)+2×(1-3n)/(1-3)=n2+3n-1．
∵2S_2n-na_2n-1＜λa_2n恒成立，
∴2（n²+3ⁿ-1）-n（2n-1）＜λ（2×3^n-1），
即2×3ⁿ+n-2＜λ（2×3^n-1）恒成立．
∴λ＞3+(n-2)/(2×3n-1)恒成立．
令bn=(n-2)/(2×3n-1)，则bn+1=(n-1)/(2×3n)，
∴bn+1-bn=(n-1)/(2×3n)-(n-2)/(2×3n-1)=(5-2n)/(2×3n)．
∴当n≥3时，b_n+1-b_n＜0，此时{b_n}单调递减；
当n≤2时，b_n+1-b_n＞0，此时{b_n}单调递增．
∴b₃最大，b3=(1)/(18)．
∴λ＞(55)/(18)．