设f（x）在[a，b]上不为常数，且有二阶连续导数，满足f（a）=f（b），f′+（a）=0．证明：（1）∃c∈（a，b），使得（c，f（c））为y=f（x）的拐点；（2）∃ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=f(ξ)

Question

设f（x）在[a，b]上不为常数，且有二阶连续导数，满足f（a）=f（b），f′₊（a）=0．证明：
（1）∃c∈（a，b），使得（c，f（c））为y=f（x）的拐点；
（2）∃ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=(f(ξ)−f(a))/(ξ−a)．

Answer 1

证明：（1）反证法：设f（x）在（a，b）内无拐点．
不失一般性，设在（a，b）内恒有f″（x）＞0，
则f′（x）严格单调增加．
由于f′₊（a）=0，所以在（a，b）内f′（x）＞0．
从而f（x）严格单调增加，故f（b）＞f（a），
与f（a）=f（b）矛盾．
因此存在c∈（a，b），（c，f（c））为曲线的拐点．                              
（2）构造辅助函数：g（x）=

(f(x)−f(a))/(x−a)，   a＜x≤b

0，   x＝a

，
则g（a）=g（b）=0．              
因为

lim

x→a+

g(x)=

lim

x→a+

(f(x)−f(a))/(x−a)=f′₊（a）=0，
所以g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导．
因为g（a）=g（b）=0，
故由罗尔定理可得，∃ξ∈（a，b），使得g′（ξ）=0，
即(f′(ξ)(ξ−a)−[f(ξ)−f(a)])/((ξ−a)2)=0，
从而有f′（ξ）=(f(ξ)−f(a))/(ξ−a)．