已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y2=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线x216−y29＝1的焦点为顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点A（-1，0），B（1，0），

Question

已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y²=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线(x2)/(16)−(y2)/(9)＝1的焦点为顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求

AP

•

BP

的取值范围．
（3）试问在圆x²+y²=a²上，是否存在一点M，使△F₁MF₂的面积S=b²（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F₁，F₂为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F₁MF₂的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）因为抛物线y²=16x的焦点和双曲线(x2)/(16)−(y2)/(9)＝1的焦点分别为（4，0）和（5，0）．
所以a=5，c=4
所以椭圆的标准方程：(x2)/(25)+(y2)/(9)＝1；
（2）设P（x₀，y₀），则

AP

•

BP

＝

x

2 0

+

y

2 0

−1；
CD：3x+5y-15=0（0≤x≤5）
则当OP⊥CD时，取到最小值，即：d1＝(|−15|)/(√(32+52))＝(15√(34))/(34)；
当P在D点时，取到最大值：OD=5
所以：(191)/(34)≤

AP

•

BP

≤24．
（3）如图所示：
由第一问可知，圆的方程为x²+y²=25．△F₁MF₂的面积S=b²=9．
设M（x，y）．又△F₁MF₂的面积S=b²=9=(1)/(2)×2×4×y⇒4y=9，
又F₁（-4，0）F₂（4，0）．设直线MF₂的倾斜角为α，直线MF₁的倾斜角为β，
则tan∠F₁MF₂=tan（α-β）=(tanα−tanβ)/(1+tanα•tanβ)=((y)/(x−4)−(y)/(x+4))/(1+(y)/(x−4)•(y)/(x+4))=(8y)/(x2+y2−16)=(18)/(25−16)=2．
即tan∠F₁MF₂的值2．